Minggu, 02 April 2017

Eksponen



 1. Pengertian Eksponen                              

        Eksponen merupakan perkalian bilangan yang sama secara berulang. Sebagai contoh, jika kita mengalikan angka 7 secara berulang sebanyak 4 kali, yaitu 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 2401, kita dapat menuliskannya dengan 7^4 = 2401 atau 7^4 = 2401.
Secara umum, x^n = x \times x \times x \cdots \times x dengan x sebanyak n kali. Artinya, kita mengalikan x secara berulang sebanyak n kali. (x^n dibaca “x pangkat n”).
Eksponen biasa juga disebut dengan pangkat. Pada perpangkatan x^y, x disebut sebagai basis bilangan pokok dan y disebut sebagai pangkat.

1. Sifat-sifat eksponen:

Misalkan x, y, m, n, dan n adalah bilangan real, dengan x \neq 0, maka:


  1. Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 0, maka hasilnya adalah 1.
    Sebagai contoh, 3^0 = 1, 5^0 = 1, dan x^0 = 1.
    Jadi, semua bilangan real (\neq 0 jika dipangkatkan dengan 0, hasilnya adalah 1.
  2. Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 1, maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Sedangkan jika 1 dipangkatkan dengan bilangan berapa pun, hasilnya adalah 1.
    Contoh: 5^1 = 5, 1^9 = 1
    Jadi, x^1 = x dan 1^x=1, berapa pun nilai x, dengan syarat x adalah bilangan real.
  3. Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan bilangan negatif, berlaku sifat: x^{-n} = \frac{1}{x^n} (sifat eksponen untuk pangkat negatif)
    Contoh: 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}
  4. x^m \times x^n = x^{m+n}
    Contoh: 3^2 \times 3^4 = 9 \times 81 = 729 atau 3^2 \times 3^4 = 3^{2 + 4} = 3^6 = 729
  5. \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}
    Contoh: \frac{4^5}{4^2} = 4^{5-2} = 4^3 = 64
  6. (x \times y)^n = x^n \times y^n
    Contoh: 14^6 = (2 \times 7)^6 = 2^6 \times 7^6
  7. x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} (Sifat eksponen untuk pangkat pecahan)
    Contoh: 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4
  8. (a^m)^n = a^{mn}
    Contoh: (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}
Jadi, semua bilangan real (\neq 0 jika dipangkatkan dengan 0, hasilnya adalah 1.
2. Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 1, maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Sedangkan jika 1 dipangkatkan dengan bilangan berapa pun, hasilnya adalah 1.
Contoh: 5^1 = 5, 1^9 = 1
Jadi, x^1 = x dan 1^x=1, berapa pun nilai x, dengan syarat x adalah bilangan real.

3. Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan bilangan negatif, berlaku sifat:
x^{-n} = \frac{1}{x^n} (sifat eksponen untuk pangkat negatif)
Contoh: 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} 
    x^m \times x^n = x^{m+n}

  1. Contoh: 3^2 \times 3^4 = 9 \times 81 = 729 atau 3^2 \times 3^4 = 3^{2 + 4} = 3^6 = 729


2. Contoh Soal Eksponen

Soal 1: Tentukanlah bentuk sederhana dari \frac{15^7 \times 6^6}{10^4}
Jawab:
Perhatikan bahwa 15^7 = (3 \times 5)^7 = 3^7 \times 5^7, kemudian 6^6 = (2^6 \times 3^6) dan 10^4 = 2^4 \times 5^4. (Ini didapat dengan menggunakan sifat (6) di atas).
Selanjutnya, \frac{15^7 \times 6^6}{10^4} = \frac{3^7 \times 5^7 \times 3^6 \times 2^6}{2^4 \times 5^4} = \frac{3^{13} \times 5^7 \times 2^6}{2^4 \times 5^4}. (Menggunakan sifat (5))
Terakhir, \frac{15^7 \times 6^6}{10^4} = 3^{13} \times 5^3 \times 2^2.

Soal 2: Jika a \neq 0, maka \frac{(-2a)^3 (2a)^{\frac{-2}{3}}}{(16a^4)^{\frac{1}{3}}} = …. (Soal SPMB tahun 2003)
Jawab:

Perhatikan bahwa setiap suku pada bentuk eksponen pecahan tersebut dapat kita nyatakan dengan bilangan pokok (2a), yaitu:
(-2a)^3 = -(2a)^3, \left (2a \right)^{\frac{-2}{3}} = \left (2a \right)^{\frac{-2}{3}}, dan (16a^4)^{\frac{1}{3}} = ((2a)^4)^{\frac{1}{3}} = (2a)^{\frac{4}{3}}
Misalkan (2a) = x, maka kita mendapatkan:
\frac{(-2a)^3 (2a)^{\frac{-2}{3}}}{(16a^4)^{\frac{1}{3}}} = \frac{-x^3 \times x^{\frac{-2}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}} \frac{(-2a)^3 (2a)^{\frac{-2}{3}}}{(16a^4)^{\frac{1}{3}}} = -x^{3 + \frac{-2}{3} - \frac{4}{3}} = -x^1 = -x = -2a



Sekian pembahasan materi tentang eksponen, semoga membantu.

Sumber : http://www.sekolahmatematika.com/eksponen/
~Ani Syarah~
Diposting oleh di

1 komentar:

Langganan: Posting Komentar (Atom)