hiperbola

Pengertian Hiperbola

 Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.

Gambar tersebut merupakan hiperbola yang berpusat di titik O(0,0).
• F₁( -c, 0) dan F₂(c, 0) adalah titik fokus hiperbola yang jaraknya 2c. Sementara selisih jarak yang tetap itu adalah 2a. 
• Sumbu utama adalah sumbu x, sedangkan sumbu sekawan adalah sumbu y.
• Sumbu mayor adalah A₁A₂, panjangnya 2a. Sumbu minor adalah B₁B₂, panjangnya 2b.
• Titik A₁ dan A₂ disebut titik puncak hiperbola yang merupakan titik potong hiperbola dengan sumbu mayor.
• Lactus rectum adalah garis vertikal yang melalui salah satu fokus, tegak lurus sumbu mayor, dan memotong hiperbola di dua titik. Panjang lactus rektum adalah 

2b2a

• Persamaan asimtot hiperbola adalah 

• Eksentrisitas = e = c/a , dengan e > 1.
• Persamaan garis direktriks adalah 

• Ketentuan khusus pada hiperbola yaitu c2 = a2 + b2.

Persamaan Hiperbola

 a. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0)

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu x adalah

x2a2 − y2b2 = 1

Titik fokus adalah F₁(c, 0) dan F₂(-c, 0).
Titik puncak adalah A₁(a, 0) dan A₂(-a, 0).
Persamaan asimtotnya adalah

Bagaimana jika sumbu utamanya adalah sumbu y?
Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu y adalah

y2a2 − x2b2 = 1

Titik fokus adalah F₁(0, c) dan F₂(0, -c).
Titik puncak adalah A₁(0, a) dan A₂(0, -a).
Persamaan asimtotnya adalah

Contoh 1:
carilah persaman asimtot dari persamaan 

x29−y216=1

jawaban:
Coba perhatikan bahwa sumbu utama persamaan hiperbola ini adalah sumbu x. Akibatnya, a² = 9 dan b² = 16, sehingga a = 3 dan b = 4.
Persamaan asimtotnya adalah

b. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q)

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu x adalah

(x − p)2a2 − (y − q)2b2 = 1

Titik fokus adalah F₁(p + c, q) dan F₂(p – c, q).
Titik puncak adalah A₁(p + a, q) dan A₂(p – a, q).
Persamaan asimtotnya adalah

 hiperbola sejajar dengan sumbu y
Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utama sejajar dengan sumbu y adalah

(y − q)2a2 − (x − p)2b2 = 1

Titik fokus adalah F₁(p, q + c) dan F₂(p, q – c).
Titik puncak adalah A₁(p, q + a) dan A₂(p, q – a).
Persamaan asimtotnya adalah

Contoh 2:
Sebuah hiperbola mempunyai persamaan 9x² – 4y² – 36x – 8y + 68 = 0.
Tentukan titik pusat, titik puncak, dan titik fokus hiperbola tersebut!
Penyelesaian:
Ayo, ubah bentuk persamaan tersebut ke dalam bentuk baku.
9x² – 4y² – 36x – 8y + 68 = 0
9x² – 36x – 4y² – 8y = –68
9(x² – 4x + 4) – 4(y² + 2y + 1) = –68 + 36 – 4
9(x – 2)² – 4(y + 1)² = –36
4(y + 1)² – 9(x – 2)² = 36

(y + 1)29 − (x − 2)24 = 1

Persamaan hiperbola ini memiliki sumbu utama yang sejajar dengan sumbu y dengan a² = 9 dan b² = 4. jadinya, c² = a² + b² = 9 + 4 = 13.
Titik pusat hiperbola adalah (2, -1).
Titik puncaknya adalah (2, -1 + 3) = (2, 2) dan (2, -1 – 3) = (2, -4).
Titik fokusnya adalah

1.            Persamaan Garis Singgung Hiperbola Sebuah garis digambarkan pada sebuah hiperbola. Salah satu kedudukan yang mungkin antara garis itu dan hiperbola adalah garis menyinggung hiperbola.lihat gambar dibawah.

Pada gambar tersebut garis g menyinggung hiperbola pada titik R(x₁, y₁).
a. Persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada hiperbola
• Persamaan garis singgung pada suatu titik R(x₁, y₁) pada hiperbola

x2a2 − y2b2 = 1

adalah


x1xa2 − y1yb2 = 1

Contoh 3:
carilah persamaan garis singgung pada titik (9, 2) yang terletak pada hiperbola 

(y + 2)248 − (x − 5)212 = 1

Penyelesaian:
Persamaan garis singgungnya dapat dihitung seperti berikut.

(y 1− q)(y − q)a2 − (x1 − p)(x − p)b2= 1(2+ 2)(y + 2)48 − (9 − 5)(x − 5)12= 1(y + 2)12 − (x − 5)3= 1

y – 4x + 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y – 4x + 10 = 0.
b. Persamaan garis singgung bergradien m pada hiperbola
Misalkan garis g yang menyinggung hiperbola tersebut bergradien m, maka:

x2100−y264=1

Contoh 4:
carilah persamaan garis singgung dengan gradien 1 pada hiperbola 

x2100−y264=1

Penyelesaian:

Gradien m = 1
Persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut.

y=mx±a2m2−b2−−−−−−−−√y=x±100.1−64−−−−−−−−−√y=x±36−−√y=x±6

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x + 6 atau y = x – 6.

Sumber: http://kanzas-kanzu.blogspot.co.id/2014/12/irisan-kerucut-hiperbola.html

Shinta mutia sari