Statistika

1. Rumus Rataan Hitung (Mean) 
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.

a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal

b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi

Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i

c) Rumus Rataan Hitung Gabungan

2. Rumus Modus

a. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:

Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

3. Rumus Median (Nilai Tengah)

a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.

b) Data yang Dikelompokkan

Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data

4. Rumus Jangkauan ( J )

Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.

5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)

6. Rumus Simpangan baku ( S ) 

7. Rumus Simpangan rata – rata (SR) 

8. Rumus Ragam (R)

Contoh soal statistika

Tabel 1.1 dibawah ini:

Jawab :

Sumber : https://agungidyaa.wordpress.com/statistika-kelas-xi-ipa/

Sekian pembahasan singkat materi tentang statistika, semoga membantu.

~Fitri Handayani~

Materi singkat dan contoh soal logaritma kelas 10

Logaritma

 
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:
${\displaystyle a^{b}=c\ \Longleftrightarrow \ ^{a}\log {c}=b}$
a = bilangan pokok (basis) logaritma
b = hasil logaritma (nilai pangkat)
c = numerus atau bilangan yang di cari logaritmanya

Pada rumus ini, a adalah basis atau pokok dari logaritma tersebut.
Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan ${\textstyle ^{a}\log {x}}$ sebagai ${\textstyle \log _{a}{x}}$. Notasi yang kedua umumnya ditemukan pada buku dan karya ilmiah yang berbahasa inggris.

Sifat-sifat logaritma :
1. ^plog ( ab ) = ^plog a + ^plog b
2. ^alog aⁿ = n
3. ^plog (a/b) = ^plog a – ^plog b
4. ^plog 1 = 0
5. ^plog aⁿ = n . ^alog a
6. ^plog a . ^alog q = ^plog q
7. ^pnlog a^m = m/n ^plog a
8. ^plog p = 1
9. P^{plog a} = a

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Fungsi Logaritma

 1.  Jika ²log x = 3

     Tentukan nilai x = ….

            penyelesaian :

            ²log x = 3  à x = 2³

                                         x  = 8.

2.  Jika ⁴log 64 = x

     Tentukan nilai x = ….

            penyelesaian :

            ⁴log 64 = x  à 4^x = 64

                                            4^x  = 4⁴

                                  x  = 4.

3.  Nilai dari ²log 8 + ³log 9 = ….

            penyelesaian :

            = ²log 8 + ³log 9

            = ²log 2³ + ³log 3²

            =  3 + 2

            =  5

4.  Nilai dari ²log (8 x 16) = ….

            penyelesaian :

            = ²log 8 + ²log 16

            = ²log 2³ + ²log 2⁴

            =  3 + 4

            =  7

5.  Nilai dari ³log (81 : 27) = ….

            penyelesaian :

            = ³log 81 – ³log 27

            = ³log 3⁴ – ³log 3³

            =  4 – 3

            =  1

6.  Nilai dari ²log 8⁴ = ….

            penyelesaian :

            = ²log 8⁴

            = 4 x ²log 2³

            = 4 x 3

            = 12

7.  Nilai dari ²log Ö8⁴ = ….

            penyelesaian :

            = ²log Ö8⁴  à

            = 2 x ²log 2³

            = 2 x 3

            = 6

8. Jika log 100 = x

    Tentukan nilai x = ….

     penyelesaian :

                log 100 = x  à 10^x = 100

                          10^x    =  10²

                             = 2.

9. log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301

Nilai log 18 = ….

penyelesaian :

log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301

log 18 = log 9 x 2

                        = log 9 + log 2

                        = log 3² + log 2

                        = 2 (0,477) + 0,301

                        = 0,954 + 0,301

                        = 1,255 

10.  log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699

Nilai log 5 + log 8 + log 25 = ….

penyelesaian :

log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699

= log 5 + log 8 + log 25

= log 5 + log 2³ + log 5²

= log 5 + 3.log 2 + 2.log 5

= 0,699 + 3(0,301) + 2(0,699)

= 0,699 + 0,903 + 1,398

= 3,0

Sekian pembahasan tentang materi logaritma, semoga membantu.

~Ni Diah Ayu Putu~

Fungsi komposisi dan fungsi invers

PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

                                                

Fungsi Komposisi 

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a.    f o g                                     d.  (f o g) (2)

b.    g o f                                     e.  (g o f) (1)

c.    (f o g) (4)                             f.  (g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini

a.    (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b.    (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c.    (f o g) (4) = 5

d.    (f o g) (2) tidak didefinisikan

e.    (g o f) (1) = -1

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila  fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui  

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

   (f o g) (x)          = -4x + 4

      f (g (x))           = -4x + 4

2 (g (x)) + 2         = -4x + 4

        2 g (x)           = -4x + 2

           g (x)           =  -4x + 2

                                      2

           g (x)            = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama

Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga

Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Contoh Soal:

FUNGSI DAN INVERSNYA:

DAN RUMUS-RUMUS FUNGSI KOMPOSISI:

Sekian pembahasan materi tentang fungsi komposisi dan fungsi invers, semoga membantu.


Sumber:  http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/pembahasan-fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers.html

~shinta mutia sari~

Contoh soal dan pembahasan persamaan garis lurus

PEMBAHASAN DAN SOAL GARIS LURUS.

 

1. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Titik Pusat (0,0) dan Bergradien m

Persamaan Garis Lurus

Soal yang berhubungan dengan titik pusat (0,0) atau sering disebut titik O dan mempunyai gradien. Rumus PGL(persamaan garis lurus) umum untuk masalah ini adalah : y=mx
Contoh soal :
Diketahui suatu garis mempunyai gradien -2 dan melalui titik O. Tentukan persamaan garis tersebut
Pembahasan :
Kita pakai rumus umumnya :
y = mx
y =-2x (selesai)

2. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Titik (a,b) dan Mempunyai gradien m

 soal yang akan lebih susah daripada soal no 1. Tp ini relatif sangat mudah. Rumus umum PGL ini adalah (y-b)=m(x-a)
Contoh soal :
Suatu garis yang melalui titik (1,5) dan bergradien 2
Pembahasan:
Rumus umum :
(y-b)=m(x-a)
(y-5)=2(x-1)
y-5 =2x-2
y=2x+3
Atau
y-2x-3=0 (selesai)

3. Persamaan Garis Lurus yang Melalui 2 Titik

 Jika soal yang tidak ada gradiennya tetapi terdapat 2 titik yang dilalui. Misalkan titik pertama A(a,b) dan titik kedua B(c,d) maka rumus umumnya yaitu:
(y-b)/(d-b) = (x-a)/(c-a)
Contoh soal :
Diketahui suatu garis melalui titik (-1,2) dan (1,1) tentukan PGLnya
Pembahasan :
Titik pertama 
(-1,2) maka a=-1, b=2
Titik kedua
(1,1) maka c=1, d=1
Pakai rumus umumnya dan masukkan angkanya
(y-2)/(1-2)=(x-(-1))/(1-(-1))
(y-2)/(-1) =(x+1)/(2)
Kalikan silang
(2)(y-2) = (-1)(x+1)
2y-4 =-x-1
2y=-x+3
Atau
x+2y-3=0

Sekian pembahasan materi contoh soal tentang persamaan garis lurus, semoga membantu.




Sumber: http://www.yusufstudi.com/2016/06/materi-soal-pembahasan-persamaan-garis-lurus.html?showComment=1490766982381#c5391538578017541135

~shinta mutia sari~

Program linear

                       Program linear

                      

Soal dan Pembahasan Program Linear

contoh soal paling sederhana yaitu mencari Daerah Penyelesaian (DP) dari suatu pertidaksamaan.

1. Gambar grafik daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut : 2x + y ≥ 6

» Pembahasan :

Nah untuk menjawab soal tersebut, kita harus mencari terlebih dahulu koordinat-koordinatnya dengan menggunakan tabel seperti dibawah ini:

x	0	3
y	6	0
(x,y)	0,6	3,0

Pertama kita melakukan permisalan yaitu dengan memisalkan x dan y menjadi 0, sehingga nanti akan ketemu titik-titik lainnya.

Nah titik koordinatnya sudah ketemu yaitu 0,6 dan 3,0, selanjutnya kita akan menggambarkannya ke diagram cartecius. Gambarnya akan seperti ini:

 Daerah Penyelesaian  merupakan hasil dari pertidaksamaan   2x + y ≥ 6.
kenapa daerah penyelesaian nya berada diatas? Karena tanda dari pertidaksamaan itu adalah lebih dari sama dengan, jadi arsirannya diatas berbeda kalau tandanya berkebalikan, maka arsiran atau DPnya ada didalam ( tapi hal itu tidak bisa dijadikan acuan, tergantung dari soal itu sendiri).

soal yang lain:

2. Sebuah perusahaan pengembang ingin membangun 2 tipe rumah, yaitu sederhana yang memiliki harga jual kredit dengan uang muka sebesar Rp.10 juta dan rumah sangat sederhana dengan uang muka sebesar Rp.5 juta. Pengembang akan membangung paling sedikit 100 rumah dan uang muka yang diharapkan masuk paling sedikit Rp.400 juta. Biaya untuk membangun rumah sederhana sebesar Rp60 juta dan rumah sangat sederhana sebesar Rp.40 juta. Pertanyaan :

§  Buatlah model matematikanya agar biaya pembangunan rumah seminimal mungkin!

§  Gambar DP nya!

» Pembahasan :

Pertama kita buat permisalan dulu :

→ Rumah Sederhana = x

→ Rumah Sangat Seerhana = y

Model Matematika :

(i)    x + y ≥ 100 → Karena rumah yang akan dibuat jumlahnya lebih dari sama dengan 100

(ii)  10.000.000x + 5.000.000y ≥ 400.000.000 ⇒2x + y ≥ 80 → harga masing-masing tipe rumah beserta jumlah uang yang masuk dari hasil pembelian.

(iii) x ≥ 0

(iiii)y ≥ 0

Terkahir yaitu Z = 60.000.000x + 40.000.000y → Untuk mencari nilai minimumnya.

Nah setelah ketemu model matematikanya, selanjutnya kita akan mencari koordinat dari masing-masing pertidaksamaan diatas. Caranya sama dengan contoh nomor satu.

Hasilnya seperti gambar dibawah ini :

Nah DP nya terletak di atas karena lebih dari sama dengan dan x dan y tidak mungkin bernilai negatif, selanjutnya kita lihat titik-titik batasnya, yaitu yang sudah saya kasih warna merah, (0,120), (0,100). dan (100,0).

Selanjutnya kita masukan ke dalam persamaan Z tadi yaitu Z = 60.000.000x + 40.000.000y.

⇔ untuk (0,120) Z = 60.000.000(0) + 40.000.000(120) = 4.800.000.000
⇔ untuk (0,100) Z = 60.000.000(0) + 40.000.000(100) = 4.000.000.000
⇔ untuk (100,0) Z = 60.000.000(100) + 40.000.000(0) = 6.000.000.000

Karena biaya yang diinginkan adalah seminimal mungkin, maka yang kita ambil adalah nilai yang paling kecil, yaitu Rp. 4.000.000.000 dengan 0 rumah sederhana dan 100 rumah sangat sederhana.

Sekian pembahasan materi tentang program linear, semoga membantu.


Sumber: http://www.informasibelajar.com/2015/08/program-linear-contoh-soal-dan-pembahasan.html#

~shinta mutia sari ~