Surga Matematika: Matriks

1. Pengertian Matriks dan Jenis-Jenis Matriks

Materi Pengertian dan Jenis-jenis Matriks Matematika Lengkap

Definisi matriks menurut wikipedia:

"Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks."

Ukuran dari sebuah matriks dapat di simbolkan dengan rumus berikut ini:

A_mxn

A = Nama Matriks

m = jumlah baris

n = jumlah kolom

mxn = ordo matriks

Contoh:

Diagonal utama dan diagonal sekunder pada matriks

Di dalam materi mengenai matriks juga dikenal istilah diagonal. Ada dua jenis diagonal di dalam matriks yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan garis miring yang ditarik dari sisi kiri atas matriks menuju sisi kanan bawah matriks. Sementara diagonal sekunder adalah kebalikannya. Seperti bisa dilihat pada gambar berikut:

Jenis-Jenis Matriks Berdasarkan Banyaknya Baris dan Kolom

Matriks Persegi

Merupakan matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, misalnya 4x4, 2x2, atau 5x5. Sehingga ordonya dilambangkan n x n.

Matriks Baris

Adalah matriks yang hanya memiliki satu buah baris namun memiliki beberapa kolom. Matriks ini ordonya adalah 1 x n dimana n harus lebih besar dari 1. Contohnya 1 x 2, 1 x 4, 1 x 6, dsb.

Matriks kolom

Merupakan kebalikan dari matriks baris. Hanya terdiri dari satu kolom namun memiliki beberapa baris. Ordo dari matriks ini adalah n x 1 dimana n harus lebih besar dari 1. Contohnya adalah 2 x 1, 3 x 1, 5 x 1, dsb.

Matriks Mendatar

Adalah matriks yang memiliki jumlah kolom yang lebih banyak dibandingkan jumlah barisnya. Contohnya adalah 3 x 5, 4 x 6, dsb.

Matriks Tegak

Merupakan kebalikan dari matriks mendatar dimana jumlah barisnya lebih banyak dibandingkan jumlah kolomnya. Contohnya adalah 6 x 3, 4 x 2, 8 x 5, dsb.

Jenis Matriks Berdasarkan pada Pola Elemennya

Matriks Nol

Merupakan matriks dengan ordo m x n dimana seluruh elemennya memiliki nilai nol.

Matriks Diagonal

Merupakan matriks persegi yang elemennya bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya.

Matriks Identitas

Adalah matriks yang diagonal utamanya di isi dengan elemen bernilai 1 sementara elemen yang lain nilainya adalah nol.

Matriks Segitiga Atas

Adalah matriks yang keseluruhan nilai dibawah diagonal utamanya adalah nol.

Matriks Segitiga Bawah

Merupakan kebalikan dari matriks segitiga atas dimana seluruh elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks Simetris

Merupakan sebuah matriks dimana elemen yang ada di atas dan dibawah doagonal utamanya memiliki susunan nilai yang sama.

Matriks Skalar

Adalah matriks yang memiliki elemen diagonal utama bernilai sama sementara elemen yang lain nilainya adalah nol.

2. Operasi Matriks

Penjumlahan Dan Pengurangan Matriks
Penjumlaha dan pengurangan matriks dapat dilakukan apabila kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama
Contoh soal :
Diketahui matriks
$A=\begin{bmatrix}2&4&5\\1&2&3\end{bmatrix}$
Dan
$B=\begin{bmatrix}7&8&9\\1&2&3\end{bmatrix}$
Tentukanlah nilai dari A + B dan A – B
Jawab :
$A+B=\begin{bmatrix}2+7&4+8&5+9\\1+1&2+2&3+3\end{bmatrix}$
$A+B=\begin{bmatrix}9&12&14\\2&4&6\end{bmatrix}$
Sedangkan pengurangannya ( A – B ) caranya juga sama dengan penjumlahan, Cuma tanda plus diganti dengan minus. Sehingga hasil dari A – B adalah:
$A-B=\begin{bmatrix}2-7&4-8&5-9\\1-1&2-2&3-3\end{bmatrix}$
$A-B=\begin{bmatrix}-5&-4&-4\\0&0&0\end{bmatrix}$

Perkalian Matriks

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.
Penghitungan perkalian matriks:

A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

Contoh soal

Hitunglah perkalian dari matriks A dan matriks B dibawah ini.

Jawab :

3. Detrminan dan Invers Matriks

1. Determinan matriks
contoh soal 1 :
Tentukanlah determinan matriks dari :
$B=\begin{bmatrix}-7&2\\3&2\end{bmatrix}$
Jawab:
Dari soal terlihat bahwa a = -7, b = 2, c = 3, dan d = 2
Maka determinan matriks B adalah
Det B = a.d – b.c
Det B = (-7).2 – 2.3 = – 14 – 6 = -20
Jadi, determinan matriks B adalah – 20.

contoh soal 2 :
Tentukanlah determinan dari matriks berikut :
$A=\begin{bmatrix}2&3&4\\5&4&3\\7&0&1\end{bmatrix}$
Jawaban :
Untuk menentukan determinannya, terlebih dahulu kita keluarkan dua kolom pertamanya, sehingga matriks tersebut menjadi :
matriks 2.png

Kemudian yang segaris kita kalika dan tandanya mengikuti aturan yang di atas
Det A = 2.4.1 + 3.3.7 + 4.5.0 – 4.4.7 – 2.3.0 – 3.5.1
Det A = 8 + 63 + 0 – 112 – 0 – 15 = – 56
Jadi determinan matriks tersebut adalah -56.

2. Invers Matriks
Invers suatu matriks merupakana kebalikan dari matriks itu sendiri. Misalkan diketahui matriks A, maka invers dari matriks A ditulis A^-1. Dan invers dari suatu matriks dirumuskan sebagai berikut :
$A^{-1}=\frac{1}{det\textrm{ }A}adj\textrm{ }A$ .

contoh soal
Tentukan invers matriks-matriks berikut.

a. A =