Surga Matematika: Persamaan Lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)

A. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

Gambar dibawah ini menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r.

B. Persamaan Lingkaran

1. Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari r

Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y.

Jarak dari O (0, 0) ke P (x, y) adalah.

Berdasarkan rumus Pythagoras

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2

Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari 5

Jawab :

2. Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).

Kita peroleh persamaan.

Persamaan lingkaran menjadi (x’– a)2 + (y’ – b)2 = r2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah

(x- a)2 + (y – b)2 = r2

Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik P(2, 3) yang melalui Q(5, -1)

Jawab :

Pusat (2, 3) maka a = 2 dan b = 3

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

(x- 2)2 + (y – 3)2 = 252

C. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah

(x- a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2+ y2 – 2ax – 2by + a2+ b2– r2 = 0 atau x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Contoh :

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 – 4x +2y – 20= 0

Jawab :

A = -4, B = 2, dan C = -20

D. Kedudukan Titik Dan Garis Pada Lingkaran

1. Kedudukan Titik Pada Lingkaran

Letak K (m,n) terhadap X²+Y² +Ax + By +C= 0 , ditentukan oleh nilai kuasa titik tersebut terhadap lingkaran

nilai kuasa K = m²+n² +Am + Bn +C,

K < 0 di dalam lingkaran
K= 0 pada lingkaran
K > 0 di luar lingkaran

Contoh 1:
Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran X²+y² -8x -10y +16 =0 dan gambarlah

a. H(-3,9) b L(7,9), c M(10,5), d N(1,7)

Jawaban:

H(-3,9) K = (-3)²+9² -8.(-3) -10.9 +16 = 40, K > 0, diluar lingkaran

L(7,9) K = (7)²+9² -8.(7) -10.9 +16 = 0, K = 0, pada lingkaran

M(10,5) K = (10)²+5² -8.(10) -10.5 +16 = 11, K > 0, diluar lingkaran

N(1,7) K = 12+72 -8.(1) -10.7 +16 = -12, K < 0, didalam lingkaran

Contoh 2:
Diketahui sebuah lingkaran X²+y² -2x +6y -15 =0 dan sebuah titik S(m,1), tentukan batas nilai m agar

titik S didalam lingkaran
titik S diluar lingkaran

Jawaban:

S(m,1) K	= kuasa
	= m2 +12 - 2m +6.1 - 15
	= m2 - 2m - 8

a.	Syarat di dalam lingkaran, K< 0 m2 -2m -8 <0 (m-4)(m+2)=0
	m=-2 atau m=4
	didalam lingkaran jika -2 < m <4 ( daerah - - - )
	diluar lingkran, K >0, jika m<-2 atau m >4 (daerah ++ )

2. Kedudukan Garis Pada Lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax²+bx+c=0.

Lihat diskriminannya: